Question

10．若函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-2ln（x+1）在其定义域的一个子区间（k，k+$\frac{1}{2}$）上不是单调函数，则实数k的取值范围是$\frac{1}{2}＜k＜1$．

Answer 1

分析 对函数求导，分别令导数大于0，小于0，得x的取值范围，即可得f（x）的单调性，结合函数f（x）的图象得出k满足的不等式，进而可求出k的取值范围

解答 解：函数的定义域为（-1，+∞），
函数的导数${f}^{′}（x）=x-\frac{2}{x+1}$=$\frac{（x-1）（x+2）}{x+1}$，
当x∈（-1，1）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
∵函数f（x）在区间（k，k+$\frac{1}{2}$）上不是单调函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1＜k＜1}\\{k+\frac{1}{2}＞1}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{2}＜k＜1$．
故答案为：$\frac{1}{2}＜k＜1$

点评 本题考查了函数的单调性的应用，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．