题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系中,过
轴正方向上一点
任作一直线,与抛物线
相交于
两点,一条垂直于
轴的直线分别与线段
和直线
交于点
.
(1)若,求
的值;
(2)若为线段
的中点,求证:直线
与该抛物线有且仅有一个公共点.
(3)若直线的斜率存在,且与该抛物线有且仅有一个公共点,试问
是否一定为线段
的中点?说明理由.
【答案】(1).(2)见解析(3)
是
的中点.见解析
【解析】
(1)联立方程利用韦达定理得到,
,再根据
,计算得到答案.
(2)计算.
,设
在
上, 且满足
,故
, 与
联立得
, 得到答案.
(3)设,计算得到
,
,
. 与
联立得到
得到答案.
(1) 设,与
联立, 得
. 故
从而,根据解
得到
得
或
,
舍去负值, 得.
(2) , 故
.
.
设在
上, 且满足
.
, 故直线
的方程为
,
而.
故, 与
联立得
,
故直线与该抛物线有且仅有一个公共点.
(3) 设, 这里
, 由(2)知过
的与
有且仅有一个公共点的斜率存在的直线必为
.与
相交, 得
.
故.
, 所以
. 与
联立,
得, 即
, 故
.
这样, 即
是
的中点.
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