题目内容
(本小题满分12分)
如图椭圆的右顶点是,上下两个顶点分别为,四边形是矩形(为原点),点分别为线段的中点.
(Ⅰ)证明:直线与直线的交点在椭圆上;
(Ⅱ)若过点的直线交椭圆于两点,为关于轴的对称点(不共线),
问:直线是否经过轴上一定点,如果是,求这个定点的坐标,如果不是,说明理由.
如图椭圆的右顶点是,上下两个顶点分别为,四边形是矩形(为原点),点分别为线段的中点.
(Ⅰ)证明:直线与直线的交点在椭圆上;
(Ⅱ)若过点的直线交椭圆于两点,为关于轴的对称点(不共线),
问:直线是否经过轴上一定点,如果是,求这个定点的坐标,如果不是,说明理由.
(Ⅰ)见解析;
(Ⅱ)直线经过轴上的点
(Ⅱ)直线经过轴上的点
(1)易求A、B、D、E、M的坐标,然后求出DE、BM的方程,两直线方程联立解方程组可求出其交点.再验证交点坐标满足椭圆方程,从而证明交点在椭圆上.
(2)先设出RS的方程,与椭圆方程联立,消y后得关于x的一元二次方程,设出交点R、S的坐标,表示出SK的方程,令y=0得到它与x轴的交点的模坐标,然后再借助直线RS的方程和韦达定理,证明x的值是常数即可.
解:(1)由题意,得,
所以直线的方程,直线的方程为,------2分
由,得,
所以直线与直线的交点坐标为,---------------4分
因为,所以点在椭圆上.---------6分
(2)设的方程为,代入,
得,
设,则,
,
直线的方程为,
令得,
将,代入上式得,设,
所以直线经过轴上的点.---------12分
(2)先设出RS的方程,与椭圆方程联立,消y后得关于x的一元二次方程,设出交点R、S的坐标,表示出SK的方程,令y=0得到它与x轴的交点的模坐标,然后再借助直线RS的方程和韦达定理,证明x的值是常数即可.
解:(1)由题意,得,
所以直线的方程,直线的方程为,------2分
由,得,
所以直线与直线的交点坐标为,---------------4分
因为,所以点在椭圆上.---------6分
(2)设的方程为,代入,
得,
设,则,
,
直线的方程为,
令得,
将,代入上式得,设,
所以直线经过轴上的点.---------12分
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