题目内容
20.设点A(1,1),点B,C在椭圆x2+3y2=4上,求S△ABC的最大值,并求出取得最大值时直线BC的方程.分析 利用结论:一般地,椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$(a>b>0)的内接△ABC的最大面积为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$ab.当且仅当△ABC的重心G为坐标原点O时,面积取得最大值.
解答 解:下面利用结论:一般地,椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$(a>b>0)的内接△ABC的最大面积为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$ab.当且仅当△ABC的重心G为坐标原点O时,面积取得最大值.
∵a=2,b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$,且A点在椭圆上,
∴Smax=$\frac{3\sqrt{3}}{4}×2×\frac{2\sqrt{3}}{3}$=3.当△ABC的重心为坐标原点时,可得直线BC的中点为$(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$.
设B(x1,y1),C(x2,y2),${x}_{1}^{2}+3{y}_{1}^{2}=4$,${x}_{2}^{2}+3{y}_{2}^{2}$=4,
相减可得:(x1+x2)(x1-x2)+3(y1+y2)(y1-y2)=0,
∴kBC=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{1}{3}$.
∴直线BC的方程为:y-$(-\frac{1}{2})$=-$\frac{1}{3}$$[x-(-\frac{1}{2})]$,化为x+3y+2=0.
点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、中点坐标公式,考查了利用重要结论解决问题的方法、推理能力与计算能力,属于难题.
A. | y=f(x)是偶函数 | B. | y=f(x)的周期为π | ||
C. | y=f(x)的图象关于直线$x=\frac{π}{2}$对称 | D. | y=f(x)的图象关于点$(-\frac{π}{2},0)$对称 |
A. | 2$\sqrt{2}$+2 | B. | $\sqrt{2}+1$ | C. | 5 | D. | $\frac{5}{2}$ |
A. | (0,$\frac{1}{3}$) | B. | ($\frac{1}{3}$,$\frac{2}{3}$) | C. | ($\frac{2}{3}$,1) | D. | (1,2) |
A. | (1,2) | B. | (2,3) | C. | (3,4) | D. | (4,5) |