题目内容

20.设点A(1,1),点B,C在椭圆x2+3y2=4上,求S△ABC的最大值,并求出取得最大值时直线BC的方程.

分析 利用结论:一般地,椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$(a>b>0)的内接△ABC的最大面积为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$ab.当且仅当△ABC的重心G为坐标原点O时,面积取得最大值.

解答 解:下面利用结论:一般地,椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$(a>b>0)的内接△ABC的最大面积为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$ab.当且仅当△ABC的重心G为坐标原点O时,面积取得最大值.
∵a=2,b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$,且A点在椭圆上,
∴Smax=$\frac{3\sqrt{3}}{4}×2×\frac{2\sqrt{3}}{3}$=3.当△ABC的重心为坐标原点时,可得直线BC的中点为$(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$.
设B(x1,y1),C(x2,y2),${x}_{1}^{2}+3{y}_{1}^{2}=4$,${x}_{2}^{2}+3{y}_{2}^{2}$=4,
相减可得:(x1+x2)(x1-x2)+3(y1+y2)(y1-y2)=0,
∴kBC=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{1}{3}$.
∴直线BC的方程为:y-$(-\frac{1}{2})$=-$\frac{1}{3}$$[x-(-\frac{1}{2})]$,化为x+3y+2=0.

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、中点坐标公式,考查了利用重要结论解决问题的方法、推理能力与计算能力,属于难题.

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网