Question

5．已知椭圆的焦点在x轴上，短轴长为$2\sqrt{3}$，离心率为$\frac{1}{2}$．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线l过该椭圆的左焦点，交椭圆于M、N两点，且$|{MN}|=\frac{7}{2}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆的短轴长与离心率，求出a，b，即可求出椭圆的标准方程．
（2）验证直线的斜率不存在时，是否满足题意；设出直线的方程，联立方程组，利用韦达定理以及弦长公式求出直线的斜率，即可求出直线方程．

解答 解：（1）由已知有：$2b=2\sqrt{3}\begin{array}{\;}\end{array}\right.$；$e=\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
得${c}^{2}=\frac{1}{4}{a}^{2}\begin{array}{\;}，\end{array}\right.$$b=\sqrt{3}$（2分），
∵c²=a²-b²，∴$\frac{1}{4}{a^2}={a^2}-3$（3分）
解得：a²=4，c²=1，b²=3（5分）
∴所求椭圆标准方程为  $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$①（6分）
（2）若直线无斜率，则l方程x=-1与椭圆交于$M（-1，\frac{3}{2}）\begin{array}{\;}，\end{array}\right.$$N（-1，-\frac{3}{2}）$，明显不符　（7分）
则设l的斜率为k，M、N的坐标分别为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∵椭圆的左焦点为（-1，0），∴l的方程为y=k（x+1）②（8分）
①、②联立可得3x²+4k²（x+1）²=12（10分）
∴（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0∴${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$（11分）
∴$|MN|=\sqrt{{（{x}_{1}-{x}_{2}）}^{2}+{（{y}_{1}-{y}_{2}）}^{2}}=\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{{（{x}_{1}+{x}_{2}）}^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{\frac{64{k}^{4}-16（{k}^{2}-3）（3+4{k}^{2}）}{{（3+4{k}^{2}）}^{2}}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{\frac{64{k}^{4}-16（{k}^{2}-3）（3+4{k}^{2}）}{{（3+4{k}^{2}）}^{2}}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\frac{12\sqrt{1+{k}^{2}}}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{7}{2}$
∴24k²+24=21+28k²…（12分）
∴${k^2}=\frac{3}{4}$即$k=±\frac{{\sqrt{3}}}{2}$…（13分）
∴l的方程为$y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$或$y=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}x-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$…（14分）

点评 本题考查椭圆的标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查设而不求，转化思想的应用，考查分析问题解决问题的能力．