Question

已知椭圆的顶点与双曲线的焦点重合，它们的离心率之和为，若椭圆的焦点在y轴上．
（1）求双曲线的离心率，并写出其渐近线方程；
（2）求椭圆的标准方程．

Answer 1

（1）e₁=2，渐近线方程为y=±；（2）．

解析试题分析：（1）首先由已知双曲线的标准方程求出双曲线的几何量，就可得焦点及离心率，渐近线方程；
（2）根据已知条件求出椭圆的离心率及焦距，利用椭圆的三个参数的关系，求出椭圆中的三个参数，从而就可求出椭圆的方程．
试题解析：（1）设双曲线的焦距为2c₁，离心率为e₁，（2分）
则有：c₁²=4+12=16，c₁=4   （4分）
∴e₁=2，渐近线方程为y=±；（6分）
（2）椭圆的离心率为，∴．又a=4，∴c=；
∵a²=b²+c²，（10分）
∴b²=；∴所求椭圆方程为（12分）
考点：1.双曲线的简单性质；2.椭圆的标准方程．