题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)当时,求函数
的单调区间;
(2)若不等式对任意的正实数
都成立,求实数
的最大整数值.
(3)当时,若存在实数
且
,使得
,求证
.
【答案】(1)增区间,减区间
;(2)2;(3)见解析
【解析】
(1)由,得
,再求出函数的导函数,
得到单调递减区间,
得到单调递增区间;
(2)依题意得,所以
,令
,利用导数说明其单调性,由
,
,即存在
使
,且
,所以
,从而得到
的取值范围;
(3)令
,解得
,由题意知
,即可得到函数的单调区间,即可得到
,同理
,从而得解;
解:(1)当时,
,
,令
得
,
当时,
,
单调递减,即
的单调递减区间为
;
当时,
,
单调递增,即
的单调递增区间为
.
(2)依题意得,
所以,
令,
显然
在
上单调递增,
且,
,∴存在
使
,
且当时,
,
单调递减;当
时,
,
单调递增.
∴而
,
∴,
∴,
∴,∴
的最大整数值为2.
(3)令
,解得
,由题意知
,
当时,
,
单调递减;当
时,
,
单调递增,
∵在
上单减,在
上单增,且
,
∴当时,
,由
,
,可得
,
∴,∴
,同理
,
则,解得
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】最新研究发现,花太多时间玩手机游戏的儿童,患多动症的风险会加倍.青少年的大脑会很快习惯闪烁的屏幕、变幻莫测的手机游戏,一旦如此,他们在教室等视觉刺激较少的地方,就很难集中注意力.研究人员对110名年龄在7岁到8岁的儿童随机调查,并在孩子父母的帮助下记录了他们在1个月里玩手机游戏的习惯.同时,教师记下这些孩子出现的注意力不集中问题.统计得到下列数据:
注意力不集中 | 注意力集中 | 总计 | |
不玩手机游戏 | 20 | 40 | 60 |
玩手机游戏 | 30 | 20 | 50 |
总计 | 50 | 60 | 110 |
(1)试估计7岁到8岁不玩手机游戏的儿童中注意力集中的概率;
(2)能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为玩手机游戏与注意力集中有关系?
附表:
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.840 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | td style="width:27.75pt; border-top-style:solid; border-top-width:0.75pt; border-left-style:solid; border-left-width:0.75pt; padding:3.38pt 5.62pt; vertical-align:middle">
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