题目内容
【题目】如图,在菱形中,
,平面
平面
是线段
的中点,
.
(1)证明:平面
.
(2)求直线与平面
所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】
(1)设与
的交点为
,连接
,则有
平面
,
平面
,进而可证平面
平面
,即可证明结论;
(2)由已知,平面
平面
,可得
平面
,连接
,可证
平面
,以
为坐标原点建立空间直角坐标系,确定
坐标,求出平面
的法向量,进而求出直线与平面所成角的正弦,再由三角函数关系,即可求出结论.
(1)设与
的交点为
,连接
.
因为,
平面
平面
,
所以平面
.
又是
的中位线,所以
,
又平面
平面
,所以
平面
.
又,所以平面
平面
.
又平面
,故
平面
.
(2)因为,平面
平面
,
平面平面
平面
,
所以平面
.
连接,则
,
故四边形是平行四边形,
故,从而
平面
.
以为坐标原点,
分别为
轴,
轴,
轴,
建立空间直角坐标系,则,
,
设平面的法向量为
,
则,令
,则
,
平面的一个法向量为
,
设直线与平面
所成角为
,
,
,
所以直线与平面
所成角的余弦值为
.
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