题目内容

2.设a为实数,设函数f(x)=2$\sqrt{1-{x}^{2}}+a(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})+5$,设t=$\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}$
(1)求t的取值范围,并把f(x)表示为t的函数g(t)
(2)若g(t)≥0恒成立,求实数a的取值范围
(3)若存在t使得|g(t)|<t成立,求实数a的取值范围.

分析 (1)由偶次根式被开方数非负,可得x的范围,将t的式子两边平方,结合二次函数的值域,可得t的范围,进而得到g(t);
(2)由g(t)≥0恒成立,即有0≤g(t)min,注意到直线t=-$\frac{a}{2}$是抛物线g(t)=t2+at+3的对称轴,分以下几种情况讨论.①当-$\frac{a}{2}$≤$\sqrt{2}$即a≥-2$\sqrt{2}$时,②当$\sqrt{2}$<-$\frac{a}{2}$<2即-4<a<-2$\sqrt{2}$时,③当-$\frac{a}{2}$≥2即a≤-4时,讨论g(t)的单调性,即可得到最小值,进而得到a的范围;
(3))存在t使得|g(t)|<t成立,即为|t2+at+3|<t?-t<t2+at+3<t,即有a<1-t-$\frac{3}{t}$且a>-1-t-$\frac{3}{t}$在[$\sqrt{2}$,2]成立,运用函数的单调性求得右边函数的最值,再由存在性问题的解法即可得到a的范围.

解答 解:(1)t=$\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}$,
要使t有意义,必须1+x≥0且1-x≥0,即-1≤x≤1,
∴t2=2+2$\sqrt{1-{x}^{2}}$,t≥0①
t的取值范围是[$\sqrt{2}$,2].
由①得$\sqrt{1-{x}^{2}}$=$\frac{1}{2}$t2-1,
∴g(t)=t2+at+3,$\sqrt{2}$≤t≤2;
(2)由g(t)≥0恒成立,即有0≤g(t)min
注意到直线t=-$\frac{a}{2}$是抛物线g(t)=t2+at+3的对称轴,
分以下几种情况讨论.
①当-$\frac{a}{2}$≤$\sqrt{2}$即a≥-2$\sqrt{2}$时,g(t)在[$\sqrt{2}$,2]上为递增函数,
即有t=$\sqrt{2}$时,取得最小值,且为5+$\sqrt{2}$a;
②当$\sqrt{2}$<-$\frac{a}{2}$<2即-4<a<-2$\sqrt{2}$时,g(t)的最小值为g(-$\frac{a}{2}$)=3-$\frac{{a}^{2}}{4}$;
③当-$\frac{a}{2}$≥2即a≤-4时,g(t)在[$\sqrt{2}$,2]上为递减函数,
即有t=2时,取得最小值,且为7+2a.
则$\left\{\begin{array}{l}{a≥-2\sqrt{2}}\\{5+\sqrt{2}a≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-4<a<-2\sqrt{2}}\\{3-\frac{{a}^{2}}{4}≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a≤-4}\\{7+2a≥0}\end{array}\right.$,
解得a≥-2$\sqrt{2}$或-2$\sqrt{3}$≤a≤-2$\sqrt{2}$或a∈∅,
则有a≥-2$\sqrt{3}$;
(3)存在t使得|g(t)|<t成立,即为
|t2+at+3|<t?-t<t2+at+3<t,
即有a<1-t-$\frac{3}{t}$且a>-1-t-$\frac{3}{t}$在[$\sqrt{2}$,2]成立,
h(t)=t+$\frac{3}{t}$在[$\sqrt{2}$,$\sqrt{3}$)递减,在($\sqrt{3}$,2)递增,
即有h(t)的最小值为2$\sqrt{3}$,最大值为$\frac{5\sqrt{2}}{2}$.
即有a<1-2$\sqrt{3}$且a>-1-$\frac{5\sqrt{2}}{2}$.
则实数a的取值范围是(-1-$\frac{5\sqrt{2}}{2}$,1-2$\sqrt{3}$).

点评 本题考查换元法的运用,主要考查二次函数的最值的求法,同时考查分类讨论的思想方法,以及不等式恒成立和成立问题的解法,属于中档题和易错题.

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