题目内容

13.某学校进行现代化达标验收,甲、乙、丙、丁四位评委随机去高三A、B两个班级听课,要求每个班级至少有一位评委且四位评委都要参与听课.
(1)求评委甲去A班听课的概率;
(2)设随机变量ξ是这四位评委去B班听课的人数,求ξ的分布列和数学期望.

分析 (1)设“评委甲去A班听课”为事件“甲A”,由题意可知:基本事件的总数为24-2=14,则事件“甲A”包括基本事件数为${∁}_{3}^{2}{∁}_{1}^{1}{A}_{2}^{2}$=6.利用古典概率计算公式即可得出;
(2)由题意可知:ξ=1,2,3.利用古典概率计算公式即可得出分布列,即可得出数学期望.

解答 解:(1)设“评委甲去A班听课”为事件“甲A”,
由题意可知:基本事件的总数为24-2=14,则事件“甲A”包括基本事件数为${∁}_{3}^{2}{∁}_{1}^{1}{A}_{2}^{2}$+${∁}_{3}^{3}$=7.
∴P(甲A)=$\frac{7}{14}$=$\frac{1}{2}$.
(2)由题意可知:ξ=1,2,3.
P(ξ=1)=$\frac{{∁}_{4}^{1}}{14}$=$\frac{2}{7}$,P(ξ=2)=$\frac{{∁}_{4}^{2}{∁}_{2}^{2}}{14}$=$\frac{3}{7}$,P(ξ=3)=$\frac{{∁}_{4}^{3}{∁}_{1}^{1}}{14}$=$\frac{2}{7}$.
可得ξ的分布列:

 ξ 1 2 3
 P $\frac{2}{7}$ $\frac{3}{7}$ $\frac{2}{7}$
∴E(ξ)=$1×\frac{2}{7}$+$2×\frac{3}{7}$+$3×\frac{2}{7}$=2.

点评 本题考查了组合数的计算公式、古典概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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