Question

13．某学校进行现代化达标验收，甲、乙、丙、丁四位评委随机去高三A、B两个班级听课，要求每个班级至少有一位评委且四位评委都要参与听课．
（1）求评委甲去A班听课的概率；
（2）设随机变量ξ是这四位评委去B班听课的人数，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）设“评委甲去A班听课”为事件“甲A”，由题意可知：基本事件的总数为2⁴-2=14，则事件“甲A”包括基本事件数为${∁}_{3}^{2}{∁}_{1}^{1}{A}_{2}^{2}$=6．利用古典概率计算公式即可得出；
（2）由题意可知：ξ=1，2，3．利用古典概率计算公式即可得出分布列，即可得出数学期望．

解答 解：（1）设“评委甲去A班听课”为事件“甲A”，
由题意可知：基本事件的总数为2⁴-2=14，则事件“甲A”包括基本事件数为${∁}_{3}^{2}{∁}_{1}^{1}{A}_{2}^{2}$+${∁}_{3}^{3}$=7．
∴P（甲A）=$\frac{7}{14}$=$\frac{1}{2}$．
（2）由题意可知：ξ=1，2，3．
P（ξ=1）=$\frac{{∁}_{4}^{1}}{14}$=$\frac{2}{7}$，P（ξ=2）=$\frac{{∁}_{4}^{2}{∁}_{2}^{2}}{14}$=$\frac{3}{7}$，P（ξ=3）=$\frac{{∁}_{4}^{3}{∁}_{1}^{1}}{14}$=$\frac{2}{7}$．
可得ξ的分布列：

ξ	1	2	3
P	$\frac{2}{7}$	$\frac{3}{7}$	$\frac{2}{7}$

∴E（ξ）=$1×\frac{2}{7}$+$2×\frac{3}{7}$+$3×\frac{2}{7}$=2．

点评 本题考查了组合数的计算公式、古典概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．