已知函数f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{3}+a{x}^{2}+bx}\\{c}\end{array}\right.$.在x=0.x=$\frac{2}{3}$处存在极值(1)求实数a.b的值,的图象上存在两点A.B.使得△AOB是以坐标原点O为直角顶点的直角三角形.且斜边AB的中点在y轴上.求实数c的取值范围,(3)当c=e时.讨论� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{3}+a{x}^{2}+bx（x≤1）}\\{c（{e}^{x-1}-1）（x≥1）}\end{array}\right.$，在x=0，x=$\frac{2}{3}$处存在极值
（1）求实数a，b的值；
（2）函数y=f（x）的图象上存在两点A，B，使得△AOB是以坐标原点O为直角顶点的直角三角形，且斜边AB的中点在y轴上，求实数c的取值范围；
（3）当c=e时，讨论关于x的过程f（x）=kx（k∈R）的实根个数．

分析（1）当x＜1时，先对函数f（x）进行求导，由题意知x=0，x=$\frac{2}{3}$是方程f′（x）=0的两实根，由韦达定理可求出a，b的值．
（2）根据分段函数，分类讨论，利用$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0，结合函数思想即可求实数c的取值范围．
（3）将方程转化为函数y=k与y=f（x），将方程根的问题转化为函数图象交点问题解决．

解答解：（1）当x＜1时，f′（x）=-3x²+2ax+b．
由极值点的必要条件可知x=0，x=$\frac{2}{3}$是方程f′（x）=0的两根，
则0+$\frac{2}{3}$=$\frac{2a}{3}$，0×$\frac{2}{3}$=-$\frac{b}{3}$，解得a=1，b=0．
（2）由（1）知，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{3}+{x}^{2}（x＜1）}\\{c（{e}^{x-1}-1）（x≥1）}\end{array}\right.$，
根据条件得A，B的横坐标互为相反数，不妨设A（-t，t³+t²），B（t，f（t）），（t＞0）．
若t＜1，则f（t）=-t³+t²，
由题意$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0，即-t²+（t³+t²）（-t³+t²）=0，此时t=0，不合题意，舍去；
若t≥1，则f（t）=c（e^t-1-1）．
由于AB的中点在y轴上，且∠AOB是直角，所以B点不可能在x轴上，即t≠1．
同理由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0，即-t²+（t³+t²）•c（e^t-1-1）=0，
∴c=$\frac{1}{（{e}^{t-1}-1）（t+1）}$．
由于函数g（t）=$\frac{1}{（{e}^{t-1}-1）（t+1）}$（t＞1）的值域是（0，+∞），
∴实数c的取值范围是（0，+∞）
（3）当c=e时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{3}+{x}^{2}（x＜1）}\\{\frac{e}{x}（{e}^{x-1}-1）（x≥1）}\end{array}\right.$．
当x≥1时，f′（x）=$\frac{e}{{x}^{2}}$＞0，此时函数在[1，+∞）上是增函数，
如图，又当x=$\frac{1}{2}$时，f（x）取得极大值$\frac{1}{4}$，
由图象知当k∈（0，$\frac{1}{4}$）时，函数y=k与y=f（x）有3个不同的交点，即方程有3个实根．
故实数k的取值范围为（0，$\frac{1}{4}$）．