Question

【题目】已知数列{an}中，a1= ，an+1= （n∈N*）．
（Ⅰ）求证：数列{ }是等差数列，并求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn+an=l（n∈N*），Sn=b1b2+b2b3+…+bnbn+1 ， 试比较an与8Sn的大小．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵an+1= （n∈N*），

∴ = = =﹣1，

又 = ，

∴数列{ }是首项为﹣4，公差为﹣1的等差数列．

∴ ，化为 （n∈N*）．

（Ⅱ）∵bn+an=l（n∈N*），

∴bn=1﹣an= ，

∴ ，

∴S=b1b2+b2b3+…+bnbn+1= +…+ = = ，

从而an﹣8Sn= = ，

∴当n≤2时，an＞8Sn；

当n≥3时，an＜8Sn．

【解析】（1）表示出和，进行作差得出其为定值-4，再由等差数列的通项公式可得到的通项公式，（2）表示出，由裂项求和得到S，进行作差可得到当n≤2时，an＞8Sn；当n≥3时，an＜8Sn．
【考点精析】解答此题的关键在于理解等差关系的确定的相关知识，掌握如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么这个数列就叫做等差数列，以及对数列的前n项和的理解，了解数列{an}的前n项和sn与通项an的关系．