题目内容
如图,在边长为1的等边△ABC中,D、E分别为边AB、AC上的点,若A关于直线DE的对称点A1恰好在线段BC上,
(1)①设A1B=x,用x表示AD;②设∠A1AB=θ∈[0º,60º],用θ表示AD
(2)求AD长度的最小值.
(1)①设A1B=x,用x表示AD;②设∠A1AB=θ∈[0º,60º],用θ表示AD
(2)求AD长度的最小值.
(1) y= (0≤x≤1), AD=·= θ∈[0º,60º]
(2) AD长度的最小值为2-3 当且仅当时取得最小值.
(2) AD长度的最小值为2-3 当且仅当时取得最小值.
试题分析:(1)设A1B=x,AD=y,在△A1BD中,BD=1-y,A1D=AD=y,有余弦定理得
y2=(1-y)2+x2-2x(1-y)cos60º=(1-y)2+x2-x+xy∴x2-x+xy-2y+1=0
y= (0≤x≤1),
设∠A1AB=θ∈[0º,60º],则在△A1BA中,由正弦定理得:
== ∴AA1=,
∴AD=·= θ∈[0º,60º]
(2)y= (0≤x≤1),令t=2-x∈[1,2]∴y==t+-3≥2-3
当且仅当t=,即x=2-时等号成立.AD长度的最小值为2-3.
AD=·= θ∈[0º,60º]
∵4sin(θ+60º)·cosθ=2sinθ·cosθ+2cos2θ=sin2θ+ (1+cos2θ)=sin2θ+cos2θ+=2sin(2θ+60º)+
∵θ∈[0º,60º]∴2θ+60º∈[60º,180º]∴sin(2θ+60º)∈[0,1]
∴4sin(θ+60º)·cosθ∈[,2+]∴AD≥= (2-)=2-3∴AD长度的最小值为2-3 当且仅当时取得最小值.
点评:本小题主要考查正弦定理、余弦定理等基础知识,同时考查利用三角公式进行恒等变形的技能和运算能力
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