题目内容

如图,在边长为1的等边△ABC中,DE分别为边ABAC上的点,若A关于直线DE的对称点A1恰好在线段BC上,

(1)①设A1Bx,用x表示AD;②设∠A1ABθ∈[0º,60º],用θ表示AD
(2)求AD长度的最小值.
(1) y (0≤x≤1), AD·  θ∈[0º,60º]
(2) AD长度的最小值为2-3 当且仅当时取得最小值.

试题分析:(1)设A1BxADy,在△A1BD中,BD=1-yA1DADy,有余弦定理得
y2=(1-y)2x2-2x(1-y)cos60º=(1-y)2x2xxyx2xxy-2y+1=0
y (0≤x≤1),
设∠A1ABθ∈[0º,60º],则在△A1BA中,由正弦定理得:
 ∴AA1
AD·     θ∈[0º,60º]
(2)y (0≤x≤1),令t=2-x∈[1,2]∴yt-3≥2-3
当且仅当t,即x=2-时等号成立.AD长度的最小值为2-3.
AD·    θ∈[0º,60º]
∵4sin(θ+60º)·cosθ=2sinθ·cosθ+2cos2θ=sin2θ (1+cos2θ)=sin2θcos2θ=2sin(2θ+60º)+
θ∈[0º,60º]∴2θ+60º∈[60º,180º]∴sin(2θ+60º)∈[0,1]
∴4sin(θ+60º)·cosθ∈[,2+]∴AD (2-)=2-3∴AD长度的最小值为2-3 当且仅当时取得最小值.
点评:本小题主要考查正弦定理、余弦定理等基础知识,同时考查利用三角公式进行恒等变形的技能和运算能力
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