题目内容
【题目】已知数列
的前
项和为
，其中
为常数．
（1）证明： 
；
（2）是否存在
，使得
为等差数列？并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）
.
【解析】试题分析：（I）对于含
递推式的处理，往往可转换为关于项
的递推式或关于
的递推式．结合结论，该题需要转换为项
的递推式．故由
得
．两式相减得结论；（II）对于存在性问题，可先探求参数的值再证明．本题由
， 
， 
，列方程得
，从而求出
．得
，故数列
的奇数项和偶数项分别为公差为4的等差数列．分别求通项公式，进而求数列
的通项公式，再证明等差数列．
试题解析：（I）由题设， 
， 
．两式相减得， 
．
由于
，所以
．
（II）由题设， 
， 
，可得
，由（I）知， 
．令
，解得
．
故
，由此可得， 
是首项为1，公差为4的等差数列， 
；
是首项为3，公差为4的等差数列， 
．
所以
， 
．
因此存在
，使得
为等差数列．
【题目】南充高中扎实推进阳光体育运动，积极引导学生走向操场，走进大自然，参加体育锻炼，每天上午第三节课后全校大课间活动时长35分钟．现为了了解学生的体育锻炼时间，采用简单随机抽样法抽取了100名学生，对其平均每日参加体育锻炼的时间（单位：分钟）进行调查，按平均每日体育锻炼时间分组统计如下表：
分组 |
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男生人数 | 2 | 16 | 19 | 18 | 5 | 3 |
女生人数 | 3 | 20 | 10 | 2 | 1 | 1 |
若将平均每日参加体育锻炼的时间不低于120分钟的学生称为“锻炼达人”.
（1）将频率视为概率，估计我校7000名学生中“锻炼达人”有多少?
（2）从这100名学生的“锻炼达人”中按性别分层抽取5人参加某项体育活动.
①求男生和女生各抽取了多少人；
②若从这5人中随机抽取2人作为组长候选人，求抽取的2人中男生和女生各1人的概率.
【题目】某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，喜欢玩电脑游戏的同学认为作业多的有18人，认为作业不多的有9人，不喜欢玩电脑游戏的同学认为作业多的有8人，认为作业不多的有15人，则认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约是多少？
| 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
【题目】为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查．已知该校共有学生960人，其中男生560人，从全校学生中抽取了容量为n的样本，得到一周参加社区服务的时间的统计数据如下表：
超过1小时 | 不超过1小时 | |
男 | 20 | 8 |
女 | 12 | m |
（1）求m，n；
（2）能否有95多的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关？
（3）以样本中学生参加社区服务时间超过1小时的频率作为该事件发生的概率，现从该校学生中随机调查6名学生，试估计6名学生中一周参加社区服务时间超过1小时的人数．
附：
| 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
