题目内容
【题目】已知数列的前
项和为
,其中
为常数.
(1)证明: ;
(2)是否存在,使得
为等差数列?并说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】试题分析:(I)对于含递推式的处理,往往可转换为关于项
的递推式或关于
的递推式.结合结论,该题需要转换为项
的递推式.故由
得
.两式相减得结论;(II)对于存在性问题,可先探求参数的值再证明.本题由
,
,
,列方程得
,从而求出
.得
,故数列
的奇数项和偶数项分别为公差为4的等差数列.分别求通项公式,进而求数列
的通项公式,再证明等差数列.
试题解析:(I)由题设, ,
.两式相减得,
.
由于,所以
.
(II)由题设, ,
,可得
,由(I)知,
.令
,解得
.
故,由此可得,
是首项为1,公差为4的等差数列,
;
是首项为3,公差为4的等差数列,
.
所以,
.
因此存在,使得
为等差数列.
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