Question

【题目】在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的方程为，过点的直线的参数方程为（为参数）.

（Ⅰ）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）若直线与曲线交于、两点，求的值，并求定点到，两点的距离之积.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）直线的普通方程，曲线的直角坐标方程为；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）由可得曲线的直角坐标方程为；用消参法消去参数，得直线的普通方程.

（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程中，由直线的参数方程中的参数几何意义求解.

（Ⅰ）由（为参数），消去参数，得直线的普通方程.

由，得曲线的直角坐标方程为.

（Ⅱ）将直线的参数方程为（为参数），

代入，得.

则，.

∴，

.

所以，的值为，定点到，两点的距离之积为.