题目内容
【题目】已知函数(
且
).
(1)讨论函数的单调性;
(2)若,讨论函数
在区间
上的最值.
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】
(1)求出,分三种情况讨论
的范围,在定义域内,分别由
求出
的范围,可得增区间;由
求出
的范围, 可得减区间;(2)由(1)得,当
时,函数
在区间
上单调递减,在区间
上单调递增,分四种情况讨论,分别利用导数判断函数在
上的单调性,利用单调性求出极值,与
的值比较大小,进而可得结果.
(1)函数的定义域是
.
.
当时,令
,得
;令
,得
,
所以函数在区间
上单调递增,在区间
上单调递减;
当时,令
,得
;令
,得
,
所以函数在区间
上单调递减,在区间
上单调递增.
(2)由(1)得,当时,函数
在区间
上单调递减,在区间
上单调递增.
①当,即
时,函数
在区间
上单调递减,所以函数
在
上的最大值为
,最小值为
;
②当,即
时,函数
在区间
上单调递增,所以函数
在
上的最大值为
,最小值为
;
③当,即
时,函数
在区间
上单调递减,在区间
上单调递增,所以函数
在
上的最小值为
.
最大值为与
中的较大者.下面比较
与
的大小:
因为
,
令,得
,化简得
,
解得
.因为
,且
,
所以.
所以当时,
,函数
在
上的最大值为
;
当时,
,函数
在
上的最大值为
;
当时,
,函数
在
上的最大值为
.
综上,当时,函数
在
上的最大值为
,最小值为
;
当时,函数
在
上的最大值为
;最小值为
;
当时,函数
在
上的最大值为
,最小值为
;
当时,函数
在
上的最大值为
,最小值为
.
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