Question

已知线段AB的两个端点A,B分别在x轴、y轴上滑动,|AB|=3,点M满足2=.
(1)求动点M的轨迹E的方程.
(2)若曲线E的所有弦都不能被直线l:y=k(x-1)垂直平分,求实数k的取值范围.

Answer 1

(1) +y²=1   (2) k≤-或k≥.

(1)设M(x,y),A(x₀,0),B(0,y₀),
则+=9,=(x-x₀,y),=(-x,y₀-y).
由2=,得解得
代入+=9,
化简得点M的轨迹方程为+y²=1.
(2)由题意知k≠0,
假设存在弦CD被直线l垂直平分,设直线CD的方程为y=-x+b,
由消去y化简得
(k²+4)x²-8kbx+4k²(b²-1)=0,
Δ=(-8kb)²-4(k²+4)·4k²(b²-1)
=-16k²(k²b²-k²-4)>0,
k²b²-k²-4<0,
设C(x₁,y₁),D(x₂,y₂),CD中点P(x_p,y_p),
则x₁+x₂=,
x_p==,
y_p=-x_p+b=-·+b=,
又y_p=k(-1),
∴k(-1)=,得b=,
代入k²b²-k²-4<0,得-(k²+4)<0,
解得k²<5,∴-<k<.
∴当曲线E的所有弦都不能被直线l:y=k(x-1)垂直平分时,k的取值范围是k≤-或k≥.