题目内容

已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),且点(-1,)在椭圆C上.
(1)求椭圆C的标准方程.
(2)已知点Q(,0),动直线l过点F,且直线l与椭圆C交于A,B两点,证明:·为定值.
(1) +y2=1   (2)见解析
(1)由题意知:c=1.
根据椭圆的定义得:2a=+,
即a=,所以b2=2-1=1,
所以椭圆C的标准方程为+y2=1.
(2)当直线l的斜率为0时,A(,0),B(-,0),
·=(-,0)·(--,0)=-.
当直线l的斜率不为0时,设直线l的方程为
x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2).
可得(t2+2)y2+2ty-1=0.
显然Δ>0.所以
因为x1=ty1+1,x2=ty2+1,
所以·=(x1-,y1)·(x2-,y2)
=(ty1-)(ty2-)+y1y2
=(t2+1)y1y2-t(y1+y2)+
=-(t2+1)·++
=+=-.
·=-,为定值.
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