题目内容
已知椭圆C:
+
=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),且点(-1,
)在椭圆C上.
(1)求椭圆C的标准方程.
(2)已知点Q(
,0),动直线l过点F,且直线l与椭圆C交于A,B两点,证明:
·
为定值.
+=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),且点(-1,)在椭圆C上.(1)求椭圆C的标准方程.
(2)已知点Q(
,0),动直线l过点F,且直线l与椭圆C交于A,B两点,证明:·为定值.(1) 
+y2=1 (2)见解析
+y2=1 (2)见解析(1)由题意知:c=1.
根据椭圆的定义得:2a=
+,
即a=
,所以b2=2-1=1,
所以椭圆C的标准方程为+y2=1.
(2)当直线l的斜率为0时,A(,0),B(-,0),
则·=(-,0)·(--,0)=-
.
当直线l的斜率不为0时,设直线l的方程为
x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2).
由
可得(t2+2)y2+2ty-1=0.
显然Δ>0.所以
因为x1=ty1+1,x2=ty2+1,
所以·=(x1-,y1)·(x2-,y2)
=(ty1-
)(ty2-)+y1y2
=(t2+1)y1y2-t(y1+y2)+
=-(t2+1)·
+t·
+
=
+=-.
即·=-,为定值.
根据椭圆的定义得:2a=
+,即a=
,所以b2=2-1=1,所以椭圆C的标准方程为
+y2=1.(2)当直线l的斜率为0时,A(
,0),B(-,0),则
·=(-,0)·(--,0)=-.当直线l的斜率不为0时,设直线l的方程为
x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2).
由
可得(t2+2)y2+2ty-1=0.显然Δ>0.所以
因为x1=ty1+1,x2=ty2+1,
所以
·=(x1-,y1)·(x2-,y2)=(ty1-
)(ty2-)+y1y2=(t2+1)y1y2-
t(y1+y2)+=-(t2+1)·
+t·+=
+=-.即
·=-,为定值.
练习册系列答案
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+
=1(a>b>0)的右顶点为A(1,0),过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1.
表示的曲线为椭圆，则
的取值范围是（ ）
=1的交点为A,B,点P是椭圆上的动点,则使得△PAB的面积为
的点P的个数为 .
=
.
+
=1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点,若∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为( )
＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )
＝1 
＝1 
＝1 
＝1
.
＝2
，求△AOB的面积．
＋
＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝
，则C的离心率为________．