Question

如图所示，已知椭圆C：＋y²＝1，在椭圆C上任取不同两点A，B，点A关于x轴的对称点为A′，当A，B变化时，如果直线AB经过x轴上的定点T(1，0)，则直线A′B经过x轴上的定点为________．

Answer 1

(4，0)

设直线AB的方程为x＝my＋1，由得(my＋1)²＋4y²＝4，即(m²＋4)y²＋2my－3＝0.
记A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则A′(x₁，－y₁)，且y₁＋y₂＝－，y₁y₂＝－，
当m≠0时，经过点A′(x₁，－y₁)，B(x₂，y₂)的直线方程为＝.令y＝0，得x＝y₁＋x₁＝y₁＋my₁＋1＝＋1＝＋1＝＋1＝4，所以y＝0时，x＝4.
当m＝0时，直线AB的方程为x＝1，此时A′，B重合，经过A′，B的直线有无数条，当然可以有一条经过点(4，0)的直线．当直线AB为x轴时，直线A′B就是直线AB，即x轴，这条直线也经过点(4，0)．综上所述，当点A，B变化时，直线A′B经过x轴上的定点(4，0)．