Question

3．已知正项等比数列{a_n}满足a₇=a₆+2a₅，若a_m，a_n满足$\sqrt{{a}_{m}{a}_{n}}$=8a₁，则$\frac{1}{m}$+$\frac{9}{n}$的最小值为（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． 6
• D． 8

Answer 1

分析 由等比数列的性质易得m+n=8，可得$\frac{1}{m}$+$\frac{9}{n}$=$\frac{1}{8}$（$\frac{1}{m}$+$\frac{9}{n}$）（m+n）=$\frac{1}{8}$（10+$\frac{n}{m}$+$\frac{9m}{n}$），由基本不等式求最值可得．

解答 解：∵正项等比数列{a_n}满足a₇=a₆+2a₅，
∴q²a₅=qa₅+2a₅，即q²-q-2=0，
解得公比q=2，或q=-1（舍去）
又∵a_m，a_n满足$\sqrt{{a}_{m}{a}_{n}}$=8a₁，
∴a_ma_n=64a₁²，∴q^m+n-2a₁²=64a₁²，
∴q^m+n-2=64，∴m+n-2=6，即m+n=8，
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{9}{n}$=$\frac{1}{8}$（$\frac{1}{m}$+$\frac{9}{n}$）（m+n）=$\frac{1}{8}$（10+$\frac{n}{m}$+$\frac{9m}{n}$）
≥$\frac{1}{8}$（10+2$\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{9m}{n}}$）=2
当且仅当$\frac{n}{m}$=$\frac{9m}{n}$即m=2且n=6时取等号，
故选：A．

点评 本题考查基本不等式求最值，涉及等比数列的通项公式，属基础题．