Question

12．已知曲线C的极坐标方程为ρ²=$\frac{6}{2co{s}^{2}θ+3si{n}^{2}θ}$，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．
（Ⅰ）求曲线C的普通方程；
（Ⅱ）P，Q是曲线C上的两个点，当OP⊥OQ时，求$\frac{1}{|OP{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OQ{|}^{2}}$的值．

Answer 1

分析 （I）曲线C的极坐标方程为ρ²=$\frac{6}{2co{s}^{2}θ+3si{n}^{2}θ}$，化为2ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=6，把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入即可得出．
（II）当直线OP，OQ的斜率都存在且不为0时，设直线OP：y=kx，则OQ的方程为：y=-$\frac{1}{k}$x．分别与椭圆方程联立解出即可得出．

解答 解：（I）曲线C的极坐标方程为ρ²=$\frac{6}{2co{s}^{2}θ+3si{n}^{2}θ}$，化为2ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=6，∴2x²+3y²=6，即$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（II）当直线OP，OQ的斜率都存在且不为0时，
设直线OP：y=kx，∵OP⊥OQ，则OQ的方程为y=-$\frac{1}{k}$x．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，解答x²=$\frac{6}{2+3{k}^{2}}$，y²=$\frac{6{k}^{2}}{2+3{k}^{2}}$，∴|OP|²=x²+y²=$\frac{6+6{k}^{2}}{2+3{k}^{2}}$，
把k换成$-\frac{1}{k}$可得：|OQ|²=$\frac{6+6{k}^{2}}{2{k}^{2}+3}$，
∴$\frac{1}{|OP{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OQ{|}^{2}}$=$\frac{2+3{k}^{2}}{6+6{k}^{2}}$+$\frac{2{k}^{2}+3}{6+6{k}^{2}}$=$\frac{5}{6}$．
当直线OP，OQ的斜率一个为0而另一个不存在时，也成立．
综上可得：$\frac{1}{|OP{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OQ{|}^{2}}$=$\frac{5}{6}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线与椭圆相交问题、两点之间的距离公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．