Question

14．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），其部分图象如下图所示，且直线y=A与曲线y=f（x）（-$\frac{π}{24}$$≤x≤\frac{11π}{24}$）所围成的封闭图形的面积为π，则f（$\frac{π}{8}$）+f（$\frac{2π}{8}$）+f（$\frac{3π}{8}$）+…+f（$\frac{2015π}{8}）$的值为（　　）

• A． -$\sqrt{3}$
• B． -1-$\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． -1+$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由图象和已知条件易得函数的解析式，由周期性和可化简要求的式子，代值计算可得．

解答 解：由图象易得函数的周期T满足$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{ω}$=$\frac{5π}{24}$-（-$\frac{π}{24}$），
解得ω=4，∴函数的周期T=$\frac{π}{2}$，
又封闭图形的面积π=$\frac{1}{2}$×$\frac{π}{2}$×2A，∴A=2，
∴f（x）=2sin（4x+φ），
代点（-$\frac{π}{24}$，2）可得2sin（-$\frac{π}{6}$+φ）=2，
结合0＜φ＜π可得φ=$\frac{2π}{3}$，
∴f（x）=2sin（4x+$\frac{2π}{3}$），
由图象可得一个周期内的函数值之和比如f（$\frac{π}{8}$）+f（$\frac{2π}{8}$）+f（$\frac{3π}{8}$）+f（$\frac{4π}{8}$）=0，
∴f（$\frac{π}{8}$）+f（$\frac{2π}{8}$）+f（$\frac{3π}{8}$）+…+f（$\frac{2015π}{8}$）
=f（$\frac{π}{8}$）+f（$\frac{2π}{8}$）+f（$\frac{3π}{8}$）=0-f（$\frac{4π}{8}$）=-$\sqrt{3}$
故选：A

点评 本题考查三角函数图象求解析式，涉及三角函数的周期性，属中档题．