Question

已知数列的前n项和为S_n，并且满足a₁＝2，na_n＋1＝S_n＋n(n＋1)．
(1)求{a_n}的通项公式；
(2)令T_n＝ S_n，是否存在正整数m，对一切正整数n，总有T_n≤T_m？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）a_n＝2n.（2）m＝8或m＝9

(1)令n＝1，由a₁＝2及na_n＋1＝S_n＋n(n＋1)，①得a₂＝4，故a₂－a₁＝2，
当n≥2时，有(n－1)a_n＝S_n－1＋n(n－1)，②
①－②，得na_n＋1－(n－1)a_n＝a_n＋2n.整理得a_n＋1－a_n＝2(n≥2)．
当n＝1时，a₂－a₁＝2，所以数列{a_n}是以2为首项，以2为公差的等差数列，
故a_n＝2＋(n－1)×2＝2n.
(2)由(1)得S_n＝n(n＋1)，所以T_n＝ (n²＋n)．
故T_n＋1＝ [(n＋1)²＋(n＋1)]，令 
即即 
解得8≤n≤9.故T₁<T₂<…<T₈＝T₉>T₁₀>T₁₁>…
故存在正整数m对一切正整数n，总有T_n≤T_m，
此时m＝8或m＝9