题目内容
如图,四棱锥F-ABCD的底面ABCD是菱形,其对角线
AE、CF都与平面ABCD垂直,AE=1,CF=2.

(1)求二面角B-AF-D的大小;
(2)求四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD公共部分的体积.


(1)求二面角B-AF-D的大小;
(2)求四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD公共部分的体积.
(1)
(2)
.


试题分析:(1)方法一:连接









方法二:设











(2)连接













试题解析:(1)方法一:如图(1)连结AC、BD交于菱形的中心O,过O
作OG⊥AF,G为垂足. 连结BG、DG.
由BD⊥AC,BD⊥CF,得BD⊥平面ACF, 故BD⊥AF. 于是AF⊥平面BGD,
所以BG⊥AF,DG⊥AF,∠BGD为二面角B-AF-D的平面角. 3分

由FC⊥AC,FC=AC=2,得∠FAC


由OB⊥OG,OB=OD=


即二面角B-AF-D的大小为


方法二:设AC与BD交点为O,以O为坐标原点,分别以BD 、AC所在直线为x轴
y轴建立如图所示的空间直角坐标系
则A(0,-1,0),B(





设平面ABF,平面ADF的法向量分别为

设

由

令

同理可得



∴二面角B-AF-D的大小为

(2)如图(2)连EB、EC、ED,设直线AF与直线CE相交于点H,
则四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD的公共部分为四棱锥H-ABCD.
过H作HP⊥平面ABCD,所以平面ACFE⊥平面ABCD,
从而

由


又因为

故四棱锥



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