题目内容
【题目】如图,在三棱锥中,平面
平面
,
为等边三角形,
,
是
的中点.
(1)证明:;
(2)若,求二面角
平面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)取的中点
,连接
、
,证明
平面
,从而得出
;
(2)证明出平面
,可得出
、
、
两两垂直,以点
为坐标原点,
、
、
所在直线分别为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系
,然后计算出平面
、
的法向量,利用空间向量法求出二面角
平面角的余弦值.
(1)证明:取中点
,联结
、
,
为等边三角形,
为
的中点,
.
是
的中点,
为
中点,
,
,
.
,
平面
,
平面
,
;
(2)由(1)知,,
平面
平面
,平面
平面
,
平面
,
平面
,则
、
、
两两垂直,
以点为坐标原点,
、
、
所在直线分别为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系
,
则、
、
、
、
.
设平面的法向量为
,
,
.
由,得
,令
,得
,
,
所以,平面的一个法向量为
.
设平面的法向量为
,
,
由,得
,取
,得
,
.
所以,平面的一个法向量为
.
则.
结合图形可知,二面角的平面角为锐角,其余弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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