题目内容
【题目】已知函数(
为自然对数的底数).
(1)求函数的极值;
(2)问:是否存在实数,使得
有两个相异零点?若存在,求出
的取值范围;若不存在,请说明理由.
【答案】(1) ①当时,函数
无极值.②当
时,函数
有极小值为
,无极大值;(2)存在,
【解析】
(1)对函数求导,根据
的不同取值范围,进行分类讨论,求出函数
的极值;
(2)根据的不同取值范围,进行分类讨论,结合
、函数的极值的大小、(1)中的结论,最后求出
的取值范围.
解:(1)因为,所以
.
①当时,
,
所以时,
,所以函数
在
上单调递减.
此时,函数无极值.
②当时,令
,得
,
当时,
,所以函数
在
上单调递减;
当时,
,所以函数
在
上单调递增.
此时,函数有极小值为
,无极大值.
(2)存在实数,使得
有两个相异零点.
由(1)知:①当时,函数
在
上单调递减;
又,所以此时函数
仅有一个零点;
②当时,
.
因为,则由(1)知
;
取,令
,
易得,所以
在
单调递减,
所以,所以
.
此时,函数在
上也有一个零点.
所以,当时,函数
有两个相异零点.
③当时,
,
,
此时函数仅有一个零点.
④当时,
,因为
,则由(1)知
;
令函数,易得
,
所以,所以
,即
.
又,所以函数
在
上也有一个零点,
所以,当时,函数
有两个相异零点.
综上所述,当时,函数
有两个相异零点.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度(每层玻璃的厚度相同)及两层玻璃间夹空气层厚度
对保温效果的影响,利用热传导定律得到热传导量
满足关系式:
,其中玻璃的热传导系数
焦耳/(厘米
度),不流通、干燥空气的热传导系数
焦耳/(厘米
度),
为室内外温度差.
值越小,保温效果越好.现有4种型号的双层玻璃窗户,具体数据如下表:
型号 | 每层玻璃厚度 (单位:厘米) | 玻璃间夹空气层厚度 (单位:厘米) |
A型 | ||
B型 | ||
C型 | ||
D型 |
则保温效果最好的双层玻璃的型号是________型.