题目内容
【题目】设离心率为 
的椭圆E： 
+ 
=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1 ， F2 ， 点P是E上一点，PF1⊥PF2 ， △PF1F2内切圆的半径为 
﹣1．
（1）求E的方程；
（2）矩形ABCD的两顶点C、D在直线y=x+2，A、B在椭圆E上，若矩形ABCD的周长为 
，求直线AB的方程．
【答案】
（1）
解：∵离心率为e= 
= 
，则a= 
c，①
由PF1⊥PF2，则丨PF1丨2+丨PF2丨2=丨F1F2丨2=4c2，
由椭圆的定义可知；丨PF1丨+丨PF2丨=2a，则丨F1F2丨2=（丨PF1丨+丨PF2丨）2﹣2丨PF1丨丨PF2丨，
∴丨PF1丨丨PF2丨=2a2﹣2c2，
，△PF1F2的面积S，S= 
丨PF1丨丨PF2丨= ×R×（丨PF1丨+丨PF2丨+丨F1F2丨），
则a﹣c= ﹣1．②
由①②解得：a= ，c=1，
b2=a2﹣c2=1，
∴椭圆E的方程为 
．
（2）
解：由题意设直线l的方程：y=x+m，A（x1，y1）、B（x2，y2），
则 
，整理得：3x2+4mx+2m2﹣2=0，
由△=16m2﹣4×3（2m2﹣2）=﹣2m2+3＞0，解得﹣ 
＜m＜ ，
由韦达定理可知：x1+x2=﹣ 
，x1x2= 
，
则丨AB丨= 
= 
= 
，
直线AB，CD之间的距离d= 
= 
，
由矩形ABCD的周长为 
，则2（丨AB丨+d）= ，
则2（ 
+ ）= ，解得：m=1，
则直线AB的方程为y=x+1．
【解析】（1）由椭圆的离心率求得a= c，根据勾股定理及椭圆的定义，求得a﹣c= ﹣1．b2=a2﹣c2=1，即可求得椭圆的标准方程；（2）设直线l的方程，代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式求得丨AB丨，由两平行之间的距离公式，由矩形的周长公式2（丨AB丨+d）= ，代入即可求得m的值，求得直线AB的方程．
名校课堂系列答案
【题目】某地级市共有
中学生，其中有
学生在
年享受了“国家精准扶贫”政策，在享受“国家精准扶贫”政策的学生中困难程度分为三个等次：一般困难、很困难、特别困难，且人数之比为
，为进一步帮助这些学生，当地市政府设立“专项教育基金”，对这三个等次的困难学生每年每人分别补助
元、
元、
元.经济学家调查发现，当地人均可支配年收入较上一年每增加
，一般困难的学生中有
会脱贫，脱贫后将不再享受“精准扶贫”政策，很困难的学生有
转为一般困难学生，特别困难的学生中有转为很困难学生.现统计了该地级市
年到年共
年的人均可支配年收入，对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中统计量的值，其中年份
取
时代表年，取
时代表
年，……依此类推，且与
（单位：万元）近似满足关系式
.（年至
年该市中学生人数大致保持不变）
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（1）估计该市
年人均可支配年收入为多少万元？
（2）试问该市年的“专项教育基金”的财政预算大约为多少万元？
附：对于一组具有线性相关关系的数据
，
，…，
，其回归直线方程
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
，
.
