题目内容
【题目】如图,已知四棱锥的底面为菱形,
,
,
.
(1)求证:;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)
【解析】试题分析:(Ⅰ)要证明线线平行,可先转化为证明线面平行,取的中点
,连结
,根据条件证明
平面
;(Ⅱ)根据垂直关系可证明
平面
,所以可以以点
为原点,
为
轴建立空间直角坐标系,分别求平面
的法向量,根据
求解.
试题解析:(Ⅰ)证明:取中点
,连结
,
∵△为等腰三角形,∴
,
又∵四边形是棱形,∠
,
∴是等边三角形,∴
,
又,∴
平面
,又
平面
,∴
;
(Ⅱ)解:可求得:,
,
∴,∴
,
以为坐标原点,分别以
所在直线为
轴,建立空间直角坐标系,
则,
,
,
,
,
,
,
,
设平面的法向量为
,则
,即
,
令,得
,
设平面的法向量为
,则
,即
,
令,得
,
∴,
经观察二面角的大小为钝角,设为
,∴
.
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