Question

【题目】已知椭圆 的一个焦点与抛物线的焦点相同， 为椭圆的左、右焦点． 为椭圆上任意一点， 面积的最大值为1．

（1）求椭圆的方程；

（2）直线交椭圆于两点．若直线与的斜率分别为，且．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】试题分析：（1）由抛物线的焦点为可以得到椭圆的半焦距，而的面积的最大值为，利用算出，从而，椭圆方程为．（2）先设出和直线的方程 ，把转化为，故联立方程组消去再利用韦达定理把这个关于的关系式化简为，所以直线 恒过定点，该定点坐标为．

解析：

（1）由抛物线的方程得其焦点为，所以椭圆中，当点为椭圆的短轴端点时， 面积最大，此时，所以，所以椭圆的方程为．

（2）联立得， ，得，

设，则，又，整理得，即

，化简得，所以直线的方程为，因此直线 恒过定点，该定点坐标为．