题目内容
【题目】如图，设点
的坐标分别为
，直线
相交于点
，且它们的斜率之积为
．
（1）求点
的轨迹方程；
（2）设点
的轨迹为
，点
是轨迹为
上不同于
的两点，且满足
，求证：
的面积为定值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
试题分析：（1）直接法求动点轨迹方程：先设动点坐标，根据条件斜率之积为
列方程：
，化简整理得标准方程，注意变形过程中的等价性，即纯粹性（2）解决解析几何中定值问题，一般方法为以算代证，即计算出
的面积，由平行条件得斜率关系：由
得
，即得坐标关系
；设直线
的方程
，与椭圆方程联立，利用韦达定理可得
，代入可得
，而三角形面积可表示为
，将代入化简得
试题解析：（1）由已知设点
的坐标为
，由题意知
，
化简得
的轨迹方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
（2）证明：由题意
是椭圆
上非顶点的两点，且
，
则直线
斜率必存在且不为0，又由已知．
因为
，所以．．．．．．．．．．．．．．．6分
设直线的方程为，代入椭圆方程
，得
．．．．①，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
设
的坐标分别为
，则．．．．．．．．．．．．8分
又
，．．．．．．．．．．．．．．．．9分
所以
，得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 10分
又，
所以，即
的面积为定值．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
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【题目】为响应国家“精准扶贫，产业扶贫“的战略，进一步优化能源消费结构，某市决定在一地处山区的
县推进光伏发电项目，在该县山区居民中随机抽取50户，统计其年用电量得到以下统计表，以样本的频率作为概率．
用电量（度） |
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|
|
户数 | 5 | 15 | 10 | 15 | 5 |
（1）在该县山区居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为
，求
的数学期望；
（2）已知该县某山区自然村有居民300户，若计划在该村安装总装机容量为300千瓦的光伏发电机组，该机组所发电量除保证该村正常用电外，剩余电量国家电网以
元/度进行收购．经测算以每千瓦装机容量平均发电1000度，试估计该机组每年所发电量除保证正常用电外还能为该村创造直接收益多少元？
