题目内容
【题目】已知函数.
(1)若曲线在点
处的切线与直线
垂直,求函数
的单调区间;
(2)若对于任意都有
成立,试求
的取值范围;
(3)记.当
时,函数
在区间
上有两个零点,求实数
的取值范围。
【答案】(1)单调增区间是,单调减区间是
.(2)
(3)
【解析】
(1)先由导数的几何意义求得a,在定义域内,再求出导数大于0的区间,即为函数的增区间,求出导数小于0的区间即为函数的减区间.
(2)根据函数的单调区间求出函数的最小值,要使f(x)>2(a﹣1)恒成立,需使函数的最小值大于2(a﹣1),从而求得a的取值范围.
(3)利用导数的符号求出单调区间,再根据函数g(x)在区间[e﹣1,e]上有两个零点,得到, 解出实数b的取值范围.
(1)直线的斜率为1, 函数
)的定义域为
.
因为,所以
,所以
,
所以,
.
由解得
;由
解得
.
所以得单调增区间是
,单调减区间是
.
(2)由
解得
;由
解得
.
所以在区间
上单调递增,在区间
上单调递减,
所以当时,函数
取得最小值
.
因为对于任意都有
成立,
所以即可.
则,
即,解得
,
所以得取值范围是
.
(3)依题意得,则
,
由解得
,由
解得
.
所以函数在区间
上有两个零点,
所以,解得
.
所以的取值范围是
.
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