Question

【题目】某房地产开发商有一块如图（1）所示的四边形空地ABCD，经测量，边界CB与CD的长都为2km，所形成的角∠．

（I）如果边界AD与AB所形成的角，现欲将该地块用固定高度的板材围成一个封闭的施工场地，求至多购买多少千米长度的板材；

（II）当边界AD与CD垂直，AB与BC垂直时，为后期开发方便，拟在这块空地上先建两条内部道路AE，EF，如图（2）所示，点E在边界CD上，且道路EF与边界BC互相垂直，垂足为F，为节约成本，欲将道路AE，EF分别建成水泥路、砂石路，每1km的建设费用分别为、a元（a为常数）；若设，试用表示道路AE，EF建设的总费用（单位：元），并求出总费用的最小值．

Answer 1

【答案】（I） （II）；最小值为元.

【解析】

（I）由题意结合余弦定理得，利用基本不等式即可得解；

（II）由正弦定理得，则，由题意可得，，令，，求导得到最小值即可得解.

（I）连结BD，易知为等边三角形，则，

在中，，，

由余弦定理得：

即

由基本不等式得：

则（当且仅当时“=”成立）．

则.

答：所用板材长度的最大值为．

（Ⅱ）因为AD与CD垂直，AB与BC垂直，

则ABCD四点共圆，且AC为直径，记直径为2R．

在ABCD中，，，

则，，

由正弦定理得：，

在和中，则，

在中，，，

则，，

又，则，

在中，，则，

则，

所以总费用．

记，，

则，

令，得，

当时，单调递减；

当时，，单调递增，

所以当时，取最小值，此时.

答．铺设的总费用的最小值为元．