题目内容
【题目】已知函数f(x)=ex-x2 -kx(其中e为自然对数的底,k为常数)有一个极大值点和一个极小值点.
(1)求实数k的取值范围;
(2)证明:f(x)的极大值不小于1.
【答案】(1);(2)见解析
【解析】
(1)求出,记
,问题转化为方程
有两个不同解,求导,研究极值即可得结果 ;
(2)由(1)知,在区间
上存在极大值点
,且
,则可求出极大值
,记
,求导,求单调性,求出极值即可.
(1),由
,
记,
,
由,且
时,
,
单调递减,
,
时,
,
单调递增,
,
由题意,方程有两个不同解,所以
;
(2)解法一:由(1)知,在区间
上存在极大值点
,且
,
所以的极大值为
,
记,则
,
因为,所以
,
所以时,
,
单调递减,
时,
,
单调递增,
所以,即函数
的极大值不小于1.
解法二:由(1)知,在区间
上存在极大值点
,且
,
所以的极大值为
,
因为,
,所以
.
即函数的极大值不小于1.
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