题目内容
【题目】已知关于的方程, ,分别求满足下列条件实数的取值范围:
(1)有解;
(2)有唯一解;
(3)有两个解.
【答案】(1);(2);(3)
【解析】
(1)设,由指数函数的单调性,可得的范围,将方程化为在有解,设,求出在的值域,即可得到所求的范围.
(2)利用(1)的结果,通过函数的单调性与函数图象,求解方程只有一个解时的范围;
(3)利用函数的图象,写出由两个解时的范围.
(1)设,由,,可得,
方程,即为,
即在有解,
由,
当时,取得最小值,
,可得的最大值为60.
可得的最小值为,
的最大值为,
即有的取值范围是.
(2)由(1)可知在有解,
由,
时,是减函数,函数是增函数;
,是增函数,函数是减函数.
时,,时,,函数在的图象如图:
有唯一解;实数的取值范围:;
(3)有两个解,由图象可得实数的取值范围;
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