Question

【题目】设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．

（1）求的方程；

（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．

Answer 1

【答案】(1) y=x–1,(2)或．

【解析】分析：(1)根据抛物线定义得，再联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理代入求出斜率，即得直线的方程；（2）先求AB中垂线方程，即得圆心坐标关系，再根据圆心到准线距离等于半径得等量关系，解方程组可得圆心坐标以及半径，最后写出圆的标准方程.

详解：（1）由题意得F（1，0），l的方程为y=k（x–1）（k>0）．

设A（x1，y1），B（x2，y2）．

由得．

，故．

所以．

由题设知，解得k=–1（舍去），k=1．

因此l的方程为y=x–1．

（2）由（1）得AB的中点坐标为（3，2），所以AB的垂直平分线方程为

，即．

设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则

解得或

因此所求圆的方程为

或．