题目内容
【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=2an-1（n∈N*），数列{bn}满足nbn+1-（n+1）bn=n（n+1）（n∈N*），且b1=1．
（1）证明数列{
}为等差数列，并求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）若cn=（-1）n-1
，求数列{cn}的前n项和T2n；
（3）若dn=an
，数列{dn}的前n项和为Dn，对任意的n∈N*，都有Dn≤nSn-a，求实数a的取值范围．
【答案】（1）证明见解析，an=2n-1，bn=n2 （2）
（3）（-∞，0]
【解析】
（1）Sn＝2an﹣1（n∈N*），n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2an﹣1﹣（2an﹣1﹣1），化为：an＝2an﹣1．利用等比数列的通项公式可得an．数列{bn}满足nbn+1﹣（n+1）bn＝n（n+1）（n∈N*），化为：
1，且b1＝1．即可证明数列{
}为等差数列，利用通项公式可得bn．
（2）cn＝（﹣1）n﹣1
（﹣1）n﹣1
（﹣1）n﹣1
，利用裂项求和方法即可得出．
（3）dn＝an
n2n﹣1，利用错位相减法可得数列{dn}的前n项和为Dn，又Sn＝2n﹣1．代入对任意的n∈N*，都有Dn≤nSn﹣a，即可得出．
（1）Sn＝2an﹣1（n∈N*），n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2an﹣1﹣（2an﹣1﹣1），化为：an＝2an﹣1．
n＝1时，a1＝2a1﹣1，解得a1＝1．
∴数列{an}是等比数列，公比为2．
∴an＝2n﹣1．
数列{bn}满足nbn+1﹣（n+1）bn＝n（n+1）（n∈N*），
化为：1，且b1＝1．
∴数列{}为等差数列，公差为1，首项为
1．
∴
1+n﹣1＝n，
bn＝n2．
（2）cn＝（﹣1）n﹣1（﹣1）n﹣1（﹣1）n﹣1，
∴数列{cn}的前n项和T2n
．
（3）dn＝ann2n﹣1，
数列{dn}的前n项和为Dn＝1+2×2+3×22+……+n2n﹣1，
2Dn＝2+2×22+……+（n﹣1）2n﹣1+n2n，
∴﹣Dn＝1+2+22+……+2n﹣1﹣n2n
n2n，
解得Dn＝（n﹣1）2n+1．
Sn＝2an﹣1＝2n﹣1．
对任意的n∈N*，都有Dn≤nSn﹣a，
∴a≤n（2n﹣1）﹣（n﹣1）2n﹣1＝2n﹣n﹣1．
令dn＝2n﹣n﹣1．则dn+1﹣dn＝2n+1﹣（n+1）﹣1﹣（2n﹣n﹣1）＝2n﹣1＞0．
∴数列{dn}单调递增．
∴a≤（dn）min＝d1＝0．
∴实数a的取值范围是（﹣∞，0]．
