题目内容
【题目】设f（x）=ln（1+x）﹣x﹣ax2 ．
（1）当x=1时，f（x）取到极值，求a的值；
（2）当a满足什么条件时，f（x）在区间 
上有单调递增的区间．
【答案】
（1）解：由题意知f（x）的定义域为（﹣1，+∞），
且f′（x）= 
﹣1﹣2ax= 
，
当x=1时，f（x）取到极值，∴f′（1）=0，解得a=﹣ 
；
当a=﹣ 时，f′（x）= 
在（0，1）上小于0，f（x）是减函数，
f′（x）= 在（1，+∞）上大于0，f（x）是增函数，
∴f（1）是函数的极小值，∴a的值为﹣ ；
（2）解：要使f（x）在区间[ 
，﹣ 
]上有单调递增的区间，
即f′（x）＞0在[﹣ 
，﹣ ]上有解，∴2ax+（2a+1）＞0；
（i）当a=0是，有1＞0，上述不等式恒成立，∴a=0满足条件；
（ii）当a＞0时，有x＞﹣ 
，此时只要﹣ ＜﹣ ，解得：a＞﹣ 
，∴取a＞0；
（iii）当a＜0时，有x＜﹣ 
，此时只要﹣ ＞﹣ 
，解得：a＞﹣1，∴取﹣1＜a＜0；
综上，a满足的条件是：a∈（﹣1，+∞）
【解析】（1）当x=1时，f（x）取到极值，即f′（1）=0，解得a的值；（2）f（x）在区间[ 
，﹣ 
]上有单调递增的区间，即f′（x）＞0时在[﹣ 
，﹣ ]上有解，解含参数的不等式．
【考点精析】认真审题，首先需要了解利用导数研究函数的单调性(一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间
内，(1)如果
，那么函数
在这个区间单调递增；(2)如果
，那么函数
在这个区间单调递减)，还要掌握函数的极值与导数(求函数的极值的方法是:（1）如果在
附近的左侧
,右侧
,那么
是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧
,那么
是极小值)的相关知识才是答题的关键．
