Question

【题目】如图所示，已知三棱锥P-ABC，∠ACB=90°，CB=4，AB=20，D为AB的中点，且△PDB是正三角形，PA⊥PC.

(1)求证：平面PAC⊥平面ABC.

(2)求二面角D-AP-C的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)详见解析（2）

【解析】试题分析：(1)在△APB中可证得AP⊥PB，再由条件可证得AP⊥平面PBC，从而得AP⊥BC，又AC⊥BC，AP∩AC=A，故可得BC⊥平面PAC，可得平面PAC⊥平面ABC. (2) 由PA⊥PC，PA⊥PB，可得∠BPC是二面角D-AP-C的平面角，在中，可得即为所求。

试题解析：

(1)因为D是AB的中点，△PDB是正三角形，AB=20，

所以PD=AB=10，

所以AP⊥PB.

又AP⊥PC，PB∩PC=P，

所以AP⊥平面PBC.

又BC平面PBC，

所以AP⊥BC.

又AC⊥BC，AP∩AC=A，

所以BC⊥平面PAC.

又BC平面ABC，

所以平面PAC⊥平面ABC.

(2)因为PA⊥PC，且PA⊥PB，

所以∠BPC是二面角D-AP-C的平面角.

由(1)知BC⊥平面PAC，

则BC⊥PC，

在中，

所以。

所以二面角D-AP-C的正弦值为。