Question

【题目】定义在R上的奇函数y=f（x）满足f（3）=0，且当x＞0时，不等式f（x）＞﹣xf′（x）恒成立，则函数g（x）=xf（x）的零点的个数为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4

Answer 1

【答案】C
【解析】解：根据题意，y=f（x）是R上的奇函数，则有f（0）=0，且f（﹣x）=﹣f（x），

又由f（x）满足f（3）=0，则有f（0）=0=f（3）=f（﹣3），

令函数h（x）=xf（x），h（﹣x）=﹣xf（﹣x）=xf（x），∴h（x）=xf（x）是偶函数，

又x＞0时，f（x）＞﹣xf'（x）恒成立，即f（x）+xf'（x）＞0恒成立，

对于函数h（x），则有h′（x）=[xf（x）]'=f（x）+xf'（x）＞0

则x＞0时，函数h（x）是增函数，

又∴x＜0时，h（x）是减函数，

结合函数的定义域为R，且g（0）=g（3）=g（﹣3）=0，

所以函数g（x）=xf（x）的零点的个数为3，

故选C．

【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能正确解答此题．