题目内容
【题目】已知函数.
(1)若曲线过点
,求曲线
在点
处的切线方程;
(2)求函数在区间
上的最大值;
(3)若函数有两个不同的零点
,
,求证:
.
【答案】(1);(2)①当
时,
;②当
时,
③当时,
;(3)详见解析.
【解析】
试题(1)因为点在曲线
上,所以
,解得
,利用导数求得斜率为
,故切线为
;(2)
,将
分成
四类,讨论函数的单调区间进而求得最大值;(3)不妨设
,因为
,所以
,
,要证明
,即证明
,令
,即证
,令
(
),利用导数求得
的最小值大于零即可.
试题解析:
(1)因为点在曲线
上,所以
,解得
.
因为,所以切线的斜率为0,
所以切线方程为.
(2)因为,
①当时,
,
,
所以函数在
上单调递增,则
;
②当,即
时,
,
,
所以函数在
上单调递增,则
;
③当,即
时,
函数在
上单调递增,在
上单调递减,
则;
④当,即
时,
,
,
函数在
上单调递减,则
.
综上,当时,
;
当时,
;
当时,
.
(3)不妨设,
因为,
所以,
,
可得,
,
要证明,即证明
,也就是
,
因为,
所以即证明,
即,
令,则
,于是
,
令(
),
则,
故函数在
上是增函数,
所以,即
成立,所以原不等式成立.
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