Question

【题目】给定一个n项的实数列，任意选取一个实数c，变换T（c）将数列a1，a2，…，an变换为数列|a1﹣c|，|a2﹣c|，…，|an﹣c|，再将得到的数列继续实施这样的变换，这样的变换可以连续进行多次，并且每次所选择的实数c可以不相同，第k（k∈N*）次变换记为Tk（ck），其中ck为第k次变换时选择的实数．如果通过k次变换后，数列中的各项均为0，则称T1（c1），T2（c2），…，Tk（ck）为“k次归零变换”．

（1）对数列：1，3，5，7，给出一个“k次归零变换”，其中k≤4；

（2）证明：对任意n项数列，都存在“n次归零变换”；

（3）对于数列1，22，33，…，nn，是否存在“n﹣1次归零变换”？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析（3）不存在，见解析

【解析】

（1）根据定义取恰当的值进行变换得解；

（2）结合（1）进行归零变换的过程，可以考虑构造数列，经过k次变换后，数列记为，k＝1，2，…，进行变换Tk（ck）时，，依次变换即可得证；

（3）利用数学归纳法证明该数列不存在“n﹣1次归零变换”.

（1）方法1：T1（4）：3，1，1，3；T2（2）：1，1，1，1；T3（1）：0，0，0，0．

方法2：T1（2）：1，1，3，5；T2（2）：1，1，1，3；T3（2）：1，1，1，1；T4（1）：0，0，0，0．．…

（2）经过k次变换后，数列记为，k＝1，2，…．

取，则，即经T1（c1）后，前两项相等；

取，则，即经T2（c2）后，前3项相等；

…

设进行变换Tk（ck）时，其中，变换后数列变为，则；

那么，进行第k+1次变换时，取，

则变换后数列变为，

显然有；

…

经过n﹣1次变换后，显然有；

最后，取，经过变换Tn（cn）后，数列各项均为0．

所以对任意数列，都存在“n次归零变换”．

（3）不存在“n﹣1次归零变换”．

证明：首先，“归零变换”过程中，若在其中进行某一次变换Tj（cj）时，cj＜min{a1，a2，…，an}，那么此变换次数便不是最少．这是因为，这次变换并不是最后的一次变换（因它并未使数列化为全零），设先进行Tj（cj）后，再进行Tj+1（cj+1），由||ai﹣cj|﹣cj+1|＝|ai﹣（cj+cj+1）|，即等价于一次变换Tj（cj+cj+1），同理，进行某一步Tj（cj）时，cj＞max{a1，a2，…，an}；此变换步数也不是最小．

由以上分析可知，如果某一数列经最少的次数的“归零变换”，每一步所取的ci满足min{a1，a2，…，an}≤ci≤max{a1，a2，…，an}．

以下用数学归纳法来证明，对已给数列，不存在“n﹣1次归零变换”．

（1）当n＝2时，对于1，4，显然不存在“一次归零变换”，结论成立．

（由（2）可知，存在“两次归零变换”变换：）

（2）假设n＝k时成立，即1，22，33，…，kk不存在“k﹣1次归零变换”．

当n＝k+1时，假设1，22，33，…，kk，（k+1）k+1存在“k次归零变换”．

此时，对1，22，33，…，kk也显然是“k次归零变换”，由归纳假设以及前面的讨论不难知1，22，33，…，kk不存在“k﹣1次归零变换”，则k是最少的变换次数，每一次变换ci一定满足，i＝1，2，…，k．

因为（k+1）k+1﹣kkk＞0

所以，（k+1）k+1绝不可能变换为0，与归纳假设矛盾．

所以，当n＝k+1时不存在“k次归零变换”．

由（1）（2）命题得证．