Question

【题目】在四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，菱形ABCD的边长为2，且，点E、F分别是PA，CD的中点，

（1）求证：EF平面PBC

（2）若PC与平面ABCD所成角的大小为，求C到平面PBD的距离

Answer 1

【答案】（1）证明见详解；（2）

【解析】

（1）取的中点,连接，由三角形中位线的性质可证，即可证明平面平面，从而得证结论.

（2）将点到面的距离问题转化为求三棱锥的高的问题，利用等体积法即可得到答案.

（1）如图取的中点,连接,

因为点E、F分别是PA，CD的中点，

所以分别为和中位线，

所以,

又,

所以平面平面,所以平面

（2）连接交于点,连接.

设点到平面的距离为

因为菱形ABCD的边长为2，且，

所以，且为等边三角形，

所以,且,

因为平面

所以即为直线与平面所成的角，

所以，所以,

又四边形为菱形，所以,

所以,所以

又,

所以的面积为

所以

依题为三棱锥的高，

且的面积为，

所以三棱锥的体积为

,

又因为，所以，解得，

所以点到平面的距离为.