Question

5．六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？
（l）甲不站两端；
（2）甲、乙不相邻；
（3）甲、乙之间间隔两人；
（4）甲不站左端，乙不站右端．

Answer 1

分析 （1）根据题意，首先分析甲的情况，易得甲有4种情况，再将剩余的5个人进行全排列，安排在其余5个位置，由分步计数原理计算可得答案；
（2）根据题意，因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法”，第一步先让甲、乙以外的4个人站队；第二步再将甲、乙排在4人形成的5个空档（含两端）中，由分步计数原理计算可得答案；
（3）根据题意，先把甲乙排好，再从其余的4人中选出2人放到甲乙中间，把排好的这4个人看做一个整体，再与其他的2个人进行排列，由分步计数原理计算可得答案，
（4）根据题意，首先考虑特殊，甲站右端，其他5人全排，甲不站右端，则甲有4种站法，乙有4种站法，其他4人全排，问题得以解决．

解答 解：（1）方法一：要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有A₄¹种站法，然后其余5人在另外5个位置上作全排列有A₅⁵种站法，根据分步计数原理，共有站A₄¹A₅⁵=480（种）．
方法二：由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选 2个人站，有A₅²种站法，然后中间4人有A₄⁴种站法，根据分步计数原理，共有站法A₅²A₄⁴=480（种）．
方法三：若对甲没有限制条件共有A₆⁶种法，甲在两端共有2A₅⁵种站法，从总数中减去这两种情况的排列数，即得所求的站法数，共有A₆⁶-2A₅⁵=480（种）．
（2）因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法”，第一步先让甲、乙以外的4个人站队，有A₄⁴种；第二步再将甲、乙排在4人形成的5个空档（含两端）中，有A₅²种，故共有站法为A₄⁴A₅²=480（种）．
（3）先把甲乙排好，有A₂²=2种方法，再从其余的4人中选出2人放到甲乙中间，方法有A₄²=12种．
把排好的这4个人看做一个整体，再与其他的2个人进行排列，方法有A₃³=6种．
根据分步计数原理，求得甲、乙之间间隔两人的排法共有2×12×6=144种
（4）首先考虑特殊，甲站右端，其他5人全排，有A₅⁵=120种，甲不站右端，则甲有4种站法，乙有4种站法，其他4人全排，4×4×A₄⁴=384种，
根据分类计数原理得120+384=504种．

点评 本题主要考查排列组合的实际应用，本题解题的关键是对于有限制的元素要优先排，特殊位置要优先排．相邻的问题用捆绑法，不相邻的问题用插空法，体现了分类讨论的数学思想，是一个中档题目．