题目内容
6.在边长为2的菱形ABCD中,∠BAD=60°,E为CD的中点,则$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BD}$=1.分析 由题意可得|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{AD}$|=2,且$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AD}$的夹角∠BAD=60°,用$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AD}$作基底表示要求的向量,由数量积的运算可得.
解答 解:由题意可得|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{AD}$|=2,且$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AD}$的夹角∠BAD=60°,
由向量的运算可得$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$,
∴$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BD}$=($\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$)•($\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$)=${\overrightarrow{AD}}^{2}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AB}$-$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{AB}}^{2}$
=22-$\frac{1}{2}$×2×2×$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$×22=1
故答案为:1
点评 本题考查平面向量的数量积,涉及平面向量基本定理,属基础题.
A. | 21 | B. | 42 | C. | 28 | D. | 7 |