题目内容
【题目】已知圆经过点
,圆
的圆心在圆
的内部,且直线
被圆
所截得的弦长为
.点
为圆
上异于
的任意一点,直线
与
轴交于点
,直线
与
轴交于点
.
(1)求圆的方程;
(2)求证: 为定值.
【答案】(1);(2)见解析.
【解析】试题分析:(1)首先根据条件设出圆心及半径,然后利用弦长公式求得半径,再利用点到直线的距离公式求得圆心,从而求得圆的方程;(2)直线
的斜率不存在可直接求出定值,直线
与直线
的斜率存在时,设点
,由此得到直线
的方程与
的方程,从而求得点
的坐标,进而利用向量数量积公式求出定值.
试题解析:(1) 易知点在线段
的中垂线
上,故可设
,圆
的半径为
.
∵直线被圆
所截得的弦长为
,且
到直线
的距离
,或
.
又圆的圆心在圆
的内部,
,圆
的方程
.
(2)证明: 当直线的斜率不存在时,
. 当直线
与直线
的斜率存在时,
设,直线
的方程为
,令
得
.
直线的方程为
, 令
得
.
,
故为定值为
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