题目内容

【题目】已知圆经过点,圆的圆心在圆的内部,且直线被圆所截得的弦长为.为圆上异于的任意一点,直线轴交于点,直线轴交于点.

1)求圆的方程;

2)求证: 为定值.

【答案】1;(2)见解析.

【解析】试题分析:(1)首先根据条件设出圆心及半径,然后利用弦长公式求得半径,再利用点到直线的距离公式求得圆心,从而求得圆的方程;(2)直线的斜率不存在可直接求出定值,直线与直线的斜率存在时,设点,由此得到直线的方程与的方程,从而求得点的坐标,进而利用向量数量积公式求出定值.

试题解析:(1) 易知点在线段的中垂线上,故可设,的半径为

直线被圆所截得的弦长为,且到直线的距离,.

又圆的圆心在圆的内部,

,的方程.

2)证明: 当直线的斜率不存在时, . 当直线与直线的斜率存在时,

,直线的方程为,.

直线的方程为, .

,

为定值为

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