题目内容

6.设函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R).
(1)若f(-1)=0且f(x)≥0在R恒成立,求f(x)的解析式;
(2)在(1)的条件下,求使方程f(x)=kx有解的实数k的取值范围;
(3)若b=$\frac{{a}^{2}}{4}$+1,求函数f(x)在[-1,1]上的最小值g(a)的表达式.

分析 (1)由题意可得f(-1)=0,即为1-a+b=0,f(x)≥0在R恒成立,即有判别式a2-4b≤0,运用完全平方可得a=2,b=1,即可得到f(x)的解析式;
(2)方程f(x)=kx有解即为x2+2x+1=kx有解.由判别式(2-k)2-4≥0,解不等式即可得到k的范围;
(3)求出二次函数的对称轴方程,讨论对称轴和区间[-1,1]的关系,运用函数的单调性即可得到最小值;

解答 解:(1)f(-1)=0,即为1-a+b=0,
f(x)≥0在R恒成立,即有判别式a2-4b≤0,
即有a2-4(a-1)≤0,即(a-2)2≤0,
则a=2,b=1,
则有f(x)=x2+2x+1;
(2)方程f(x)=kx有解即为x2+2x+1=kx有解.
即x2+(2-k)x+1=0有解.
由判别式(2-k)2-4≥0,
解得k≥4或k≤0,
即有实数k的取值范围是(-∞,0]∪[4,+∞);
(3)当b=$\frac{{a}^{2}}{4}$+1时,f(x)=(x+$\frac{a}{2}$)2+1,对称轴为x=-$\frac{a}{2}$,
当a≤-2时,函数f(x)在[-1,1]上递减,则g(a)=f(1)=$\frac{{a}^{2}}{4}$+a+2;
当-2<a≤2时,即有-1≤-$\frac{a}{2}$<1,则g(a)=f(-$\frac{a}{2}$)=1;
当a>2时,函数f(x)在[-1,1]上递增,则g(a)=f(-1)=$\frac{{a}^{2}}{4}$-a+2.
综上可得,g(a)=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}^{2}}{4}+a+2,a≤-2}\\{1,-2<a≤2}\\{\frac{{a}^{2}}{4}-a+2,a>2}\end{array}\right.$.

点评 本题考查二次函数在闭区间上的最值的求法,同时考查二次方程和函数的零点的关系,考查不等式的性质和分类讨论的思想方法,属于中档题.

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