Question

19．若不等式t²+at+1≥0对$0＜t≤\frac{1}{2}$恒成立，实数a的最小值是-$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 因为函数对$0＜t≤\frac{1}{2}$恒成立，分离参数a，利用均值不等式即可求出最小值．

解答 解：若不等式t²+at+1≥0对$0＜t≤\frac{1}{2}$恒成立，则at≥-t²-1，所以$a≥\frac{-{t}^{2}-1}{t}=-（t+\frac{1}{t}）$，∵$t+\frac{1}{t}≥2$，
当且仅当t=2时取等号．但是$0＜t≤\frac{1}{2}$，
所以根据函数$y=t+\frac{1}{t}$得单调性，当t=$\frac{1}{2}$时取最小值$\frac{5}{2}$．
所以a的最小值为-$\frac{5}{2}$
故答案为：-$\frac{5}{2}$

点评 本题主要考查函数恒成立问题，利用均值不等式时取不到等号，要利用单调性来处理问题的方法，属于中档题．