题目内容

8．设函数f（x）=exsinx-cosx，g（x）=xcosx-$\sqrt{2}$ex（其中e是自然对数的底数），?x1∈[0，$\frac{π}{2}$]，?x2∈[0，$\frac{π}{2}$]，使得不等式f（x1）+g（x2）≥m成立，则实数m的范围（　　）
A．（-∞，-1-$\sqrt{2}$]B．（-∞，${e}^{\frac{π}{2}}$-$\sqrt{2}$]C．（-∞，-1-$\sqrt{2}$${e}^{\frac{π}{2}}$]D．（-∞，（-1-$\sqrt{2}$）${e}^{\frac{π}{2}}$]

分析 确定函数f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上单调递增，可得f（x）min=f（0）=-1；函数g（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上单调递减，可得g（x）max=g（0）=-$\sqrt{2}$，利用x1∈[0，$\frac{π}{2}$]，?x2∈[0，$\frac{π}{2}$]，使得不等式f（x1）+g（x2）≥m成立，即可求出实数m的范围．

解答 解：∵f（x）=exsinx-cosx，
∴f′（x）=exsinx+excosx+sinx，
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴f′（x）＞0，
∴函数f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上单调递增，
∴f（x）min=f（0）=-1．
∵g（x）=xcosx-$\sqrt{2}$ex，
∴g′（x）=cosx-xsinx-$\sqrt{2}$ex，
∴x∈[0，$\frac{π}{2}$]，g″（x）=-sinx-sinx-xcosx-$\sqrt{2}$ex＜0
∴g′（x）≤g′（0）＜0，
∴函数g（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上单调递减，
∴g（x）max=g（0）=-$\sqrt{2}$，
∵x1∈[0，$\frac{π}{2}$]，?x2∈[0，$\frac{π}{2}$]，使得不等式f（x1）+g（x2）≥m成立，
∴m≤-1-$\sqrt{2}$．
故选：A．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与最值，正确求导，确定函数的单调性是关键．

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