题目内容
【题目】对于定义在区间上的函数
,若同时满足:
(Ⅰ)若存在闭区间,使得任取
,都有
(
是常数);
(Ⅱ)对于内任意
,当
,时总有
恒成立,则称函数
为“平底型”函数.
(1)判断函数和
是否是“平底型”函数?简要说明理由;
(2)设是(1)中的“平底型”函数,若不等式
对一切
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)函数是区间
上的“平底型”函数,求
和
满足的条件,并说明理由.
【答案】(1)是“平底型”函数,
不是“平底型”函数;理由见解析;(2)
;
(3)且
.
【解析】
(1)将函数与
分别表示为分段函数,结合题中定义对这两个函数是否为“平底型”函数进行判断;
(2)由(1)知,,由题意得出
,利用绝对值三角不等式求出
的最小值
,然后分
、
、
三种情况来解不等式
,即可得出
的取值范围;
(3)假设函数,
是“平底型”函数,则该函数的解析式需满足“平底型”函数的两个条件,化简函数解析式,检验“平底型”函数的两个条件同时具备的
、
值是否存在.
(1),
.
对于函数,当
时,
,
当时,
;当
时,
.
所以,函数为“平底型”函数.
对于函数,当
时,
;当
时,
.
但区间不是闭区间,所以,函数
不是“平底型”函数;
(2)由(1)知,,
由于不等式对一切
恒成立,则
.
由绝对值三角不等式得,则有
.
①当时,由
,得
,解得
,此时,
;
②当时,
恒成立,此时,
;
③当时,由
,得
,解得
,此时,
.
综上所述,的取值范围是
;
(3).
①当时,
(i)若,则
,该函数为“平底型”函数;
(ii)若,则该函数不是“平底型”函数;
②当时,若
时,则
,当
时,
,该函数不是“平底型”函数;
③当时,则
,
(i)若,则该函数不是“平底型”函数;
(ii)若,该函数不是“平底型”函数;
(iii)若,则
,则
,显然,该函数不是“平底型”函数.
综上所述,当且
时,函数
是区间
上的“平底型”函数.
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